1回使った数字は、2度使ってはいけない とします。3桁の数字で、5の倍数の一位の数字は、0 か 5 のどちらかです。 Show ① 一位の数字が 0 の場合。 ② 一位の数字が 5 の場合で、十位の数字が 0 の場合。 ③ 一位の数字が 5 の場合で、十位の数字が 0 以外の場合。 全部で、①+②+③=20+4+12=36 で、36個。
各記事に対応する動画の作成開始しました。 動画ページへ 2020.04.06
ここでは整数を並べてできる3の倍数の個数を求める問題について説明します。 まず,3の倍数の見分け方を知っておこう。 3の倍数各位の数字の和が3の倍数のとき,元の数は3の倍数である。 上の記事でも3の倍数を作る問題の説明をしましたが,扱う整数が多くなると結構大変です。 扱う整数が多くなっても,楽に解ける方法を知っておきましょう。 Contents
3の倍数を作る問題ヒロ 実際に学校の定期テストで出題された次の問題を考えてみよう。 問題6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5がある。異なる3個の数字を用いてできる3桁の3の倍数の個数を求めよ。 各位の数字の和に着目した解法ヒロ まずは各位の数字の和に着目して解いてみよう。 ヒロ 各位の数字の和の最小は3で最大は12だから,3, 6, 9, 12の4つに場合分けをすれば良いね。 【考え方と解答】 \begin{align*} (ii) $N=6$のとき \begin{align*} $(1,~2,~3)$のときは異なる3個のものを並べるから $3!=6$ 個 \begin{align*} (iii)
$N=9$のとき \begin{align*} (iv) $N=12$のとき \begin{align*} 3で割った余りに着目した解法ヒロ 6個の数字を3で割った余りで分類して考えよう。 【3で割った余りで分類して考える利点】 \begin{align*} と表される。3つの数字の和が3の倍数になるのは次の4つのタイプに限られる。 \begin{align*} となり3の倍数になる。 \begin{align*} となり3の倍数になる。 \begin{align*} (iv)のとき,選ぶ3つの数を $3k$, $3l+1$, $3m+2$ とすると \begin{align*} となり3の倍数になる。 ヒロ 3で割った余りに着目して,問題を解いていこう。
【考え方と解答】 \begin{align*} 3の倍数となるのは,A,~B,~Cの3つのグループからそれぞれ1つずつ数字を選ぶときである。 \begin{align*} したがって,3桁の3の倍数は \begin{align*} (ii) $A$ から3を選ぶとき \begin{align*} (i), (ii)より \begin{align*} ヒロ 最初の解法では4通りに場合分けをしたが,この解法では2通りの場合分けで済んだ。 ヒロ 扱う数字が0から9の10個になると,より楽に感じるだろう。 3の倍数を作る問題2ヒロ それでは次の問題を解いてみよう。 問題10個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9がある。異なる3個の数字を用いてできる3桁の3の倍数の個数を求めよ。 各位の数字の和に着目した解法ヒロ まずは各位の数字の和に着目して解いてみよう。 ヒロ 各位の数字の和の最小は3で最大は24だから,3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24の8つに場合分けをすれば良いね。 ヒロ これは大変だけど,誰もやらないだろうから,ここでやっておくことにする。 【考え方と解答】 \begin{align*} 0を含む組み合わせについては,3つの数字の並べ方は \begin{align*} よって,全部で \begin{align*} ヒロ これは疲れるね・・・ 3で割った余りに着目した解法ヒロ 10個の数字を3で割った余りで分類して考えよう。 【考え方と解答】 \begin{align*} 3の倍数となるのは,次の4つのときである。 \begin{align*} 0を選ばないとき,3, 6, 9を選ぶから,3桁の3の倍数は $3!=6$ 個 \begin{align*} $A$ から0を選ばないとき,$A$ から数字を選ぶ方法は3通りある。よって,3の倍数は \begin{align*} 以上より \begin{align*} ヒロ 3の倍数であるためには,各位の数の和が3の倍数であることを知っておくべきであるが,3で割った余りで分類する考え方や解法も身に付けておくと良いだろう。 タイトルとURLをコピーしました |